Eigenvalues ​​और eigenvectors की गणना कैसे करें | विज्ञान | hi.aclevante.com

Eigenvalues ​​और eigenvectors की गणना कैसे करें




एक ऑटोवैक्टर एक नॉनजरो वेक्टर है, जिसे एक वर्ग मैट्रिक्स से गुणा करने पर, कई में परिणाम होता है। यह मल्टीपल एक स्केलर है जिसे "ईजेनवल्यू" कहा जाता है। क्वांटम यांत्रिकी और ऊष्मप्रवैगिकी जैसे विभेदक समीकरणों को हल करने के लिए eigenvalues ​​और eigenvectors प्राप्त करना आवश्यक है। उन्हें गणना करने के लिए आपको बीजगणितीय मैट्रिक्स और निर्धारकों की अवधारणा को समझना चाहिए।

एक वर्ग मैट्रिक्स के eigenvalues ​​का पता लगाएं। एक eigenvalue एक अदिश राशि है और ग्रीक अक्षर लैंबडा का प्रतीक है, लेकिन सादगी के लिए हम इसे L के रूप में संक्षिप्त करेंगे। फिर, एक वेक्टर x के लिए शून्य के अलावा जो कि Ax = Lx को संतुष्ट करता है, x कहा जाता है। ए। का स्वदेशी गुणसूत्र बहुपद द्वारा पाया जाता है: det (A-LI) = 0. डिटेल निर्धारक है और मैं पहचान मैट्रिक्स है।

प्रत्येक eigenvalue के लिए eigenvectors की गणना करें। इसके लिए, आपको ई (एल) को ढूंढना होगा, जो कि विशेषता बहुपद का मूल है। E (L) के गैर-शून्य वैक्टर A के ऑटोवेटर्स हैं। ये ऑटोवॉटरों को विशेषता मैट्रिक्स में वापस डालने और A-LI = 0 के लिए एक आधार खोजने के द्वारा पाए जाते हैं।

छवि के मैट्रिक्स का अध्ययन करके चरण 1 और 2 का अभ्यास करें। एक 2x2, वर्ग मैट्रिक्स दिखाया गया है।

विशेषता बहुपद का उपयोग कर आइजेनवॉल की गणना करें। पता लगाएं (ए - एलआई) = (1 - एल) (- 4 - एल) - 3 * 2 = एल ^ 2 + 3 एल -10 = 0, विशेषता बहुपद। फैक्टरिंग के बाद, हम (L + 5) (L - 2) = 0, या L1 = -5 और L2 = 2. प्राप्त करते हैं। ये मैट्रिक्स के आइजेनवल हैं।

कर्नेल की गणना करके आइजनवेल्यू एल 1 = -5 के ऑटोवेटर्स का पता लगाएं। L = -5 को विशेषता बहुपद समीकरण में बदलकर ऐसा करें और A- (-5) = A + 5 = 0. के लिए एक आधार खोजें। दो समीकरण 6x + 3y = 0 और 2x + y = 0. दूसरा चुनना, चूंकि वे समतुल्य हैं, इसलिए समाधान 2x = -y देता है। यदि x = 1, तो y = -2, और इस प्रकार v1 = (1, -2) ऑटोवैक्टर है जो L1 = -5 के ऑटो-स्पेस को उत्पन्न करता है

Eigenvalue L = 2. के लिए ऑटोवैक्टर खोजें। समीकरण x - 3y = 0, या x = -3y है। यदि x = 3, तो y = -1, इसलिए v2 = (3, -1) ऑटोवैक्टर है जो L = 2 के ऑटो-स्पेस को उत्पन्न करता है।

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